Comprendre ce que
l’on fait avec les matrices

Comment lire cette version

Tu n’as pas à connaître le vocabulaire de l’algèbre linéaire pour ouvrir ce cours. Nous supposons seulement que tu sais calculer avec des nombres, développer une expression et résoudre une équation simple. Lorsque nous aurons besoin d’une autre notion, nous l’expliquerons au moment où elle intervient.

Les neuf premières parties construisent les idées utiles pour reprendre les premiers exercices du devoir. Elles sont à lire dans l’ordre. Ensuite, nous utiliserons ces idées pour comprendre le reste du PDF : ce que font les matrices, comment résoudre les calculs qu’elles décrivent et comment interpréter les résultats.

Dans un exemple, prends le temps de suivre une égalité jusqu’à la suivante. Le texte entre les formules explique l’opération effectuée et sa raison. Les encadrés « À retenir » ne remplacent pas ce cheminement ; ils permettent de le retrouver après l’avoir compris.

Support suivi : PDF « Chapter 0 – Review and Miscellanea », 81 diapositives. Les liens vers le PDF et le détail de la correspondance se trouvent à la fin. Le texte ne fournit ni corrigé ni indices du devoir.

1. Un vecteur : garder plusieurs nombres ensemble

1.1 Lire un couple de nombres#

Le couple $(3,2)$ contient deux nombres dans un ordre précis. Dans un dessin, il peut décrire le déplacement « trois unités vers la droite, deux unités vers le haut ». Nous appellerons ce couple un vecteur.

Les deux nombres sont ses coordonnées : 3 est la première coordonnée, 2 la seconde. Échanger les nombres donne $(2,3)$, donc un autre vecteur. L’ordre compte.

On peut écrire le même vecteur horizontalement ou verticalement :

L’écriture verticale est une colonne. Elle deviendra pratique pour calculer avec des tableaux de nombres. Pour l’instant, les deux écritures disent la même chose : première coordonnée 3, deuxième coordonnée 2.

1.2 Additionner deux vecteurs#

Additionner les déplacements $(3,2)$ et $(1,-1)$, c’est faire le premier déplacement puis le second. Au total, on avance de $3+1=4$ vers la droite et de $2+(-1)=1$ vers le haut. On obtient

La règle de calcul est donc : additionner les premières coordonnées entre elles, puis les secondes entre elles. On ne mélange pas les positions. Pour trois coordonnées, on applique la même règle aux trois positions.

Le vecteur $(0,0)$ décrit le déplacement nul. L’ajouter ne change rien : $(3,2)+(0,0)=(3,2)$. On l’appelle le vecteur nul.

1.3 Multiplier un vecteur par un nombre#

Prendre deux fois $(3,2)$, c’est additionner ce vecteur à lui-même. On trouve $(6,4)$. Nous écrivons cela

On multiplie chaque coordonnée par 2. Plus généralement, multiplier un vecteur par un nombre revient à multiplier toutes ses coordonnées par ce nombre. Par exemple :

Sur le dessin, un nombre positif modifie la longueur sans changer le sens. Un nombre négatif renverse aussi le sens. La multiplication par zéro donne le vecteur nul.

Dans le vocabulaire du cours, le nombre qui multiplie un vecteur s’appelle un scalaire. Pour nos premiers exemples, un scalaire est simplement un nombre réel, par exemple 2, −3 ou 1/2. L’expression « multiplication scalaire » signifie donc ici « multiplication d’un vecteur par un nombre ».

1.4 Soustraire un vecteur#

Pour annuler le déplacement $(3,2)$, il faut faire le déplacement $(-3,-2)$. Leur somme est $(0,0)$. Ces deux vecteurs sont opposés. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé :

2. Construire un vecteur avec d’autres vecteurs

2.1 Deux opérations réunies dans une expression#

Prenons maintenant $u=(1,1)$ et $v=(1,-1)$. Que signifie $2u+v$ ? On calcule d’abord deux fois $u$, puis on ajoute $v$ :

Nous avons construit le vecteur $(3,1)$ avec les deux vecteurs de départ. Une expression obtenue en multipliant des vecteurs par des nombres, puis en additionnant les résultats, s’appelle une combinaison linéaire.

Le terme peut sembler abstrait ; l’opération qu’il désigne est exactement celle que nous venons de faire. Dans $2u+v$, les nombres 2 et 1 sont les coefficients de la combinaison. Écrire $v$ sans nombre devant signifie $1v$.

Les coefficients peuvent être négatifs ou nuls. Par exemple, $3u-2v$ est une combinaison linéaire. Son calcul donne $(3,3)+(-2,2)=(1,5)$. En revanche, multiplier les coordonnées de deux vecteurs entre elles est une autre opération ; ce n’est pas ce que signifie « combinaison linéaire ».

2.2 Inverser la question : peut-on construire la cible ?#

Jusqu’ici, nous choisissions les coefficients et nous calculions le résultat. Demandons maintenant quels coefficients permettent d’obtenir $w=(5,1)$. Appelons-les $a$ et $b$, deux nombres inconnus. Nous cherchons

À gauche, on multiplie puis on additionne :

Deux couples sont égaux lorsque leur première coordonnée est la même et leur seconde aussi. Nous devons donc avoir à la fois $a+b=5$ et $a-b=1$. Additionner ces deux équations donne $2a=6$, donc $a=3$. La première équation donne ensuite $b=2$.

Nous avons trouvé la construction $w=3u+2v$. On la vérifie sans aucune nouvelle méthode : $3(1,1)+2(1,-1)=(3,3)+(2,-2)=(5,1)$.

2.3 Ce qu’un seul vecteur permet de construire#

Avec seulement $u=(1,1)$, on peut obtenir $2u=(2,2)$, $-3u=(-3,-3)$, $(1/2)u=(1/2,1/2)$, etc. Les deux coordonnées restent égales. On ne peut donc pas obtenir $(3,1)$ avec ce seul vecteur.

Sur le dessin, tous les multiples de $u$ se trouvent sur une droite passant par l’origine. Avec un seul vecteur non nul et tous les nombres réels comme coefficients, on obtient exactement cette droite.

Avec $u$ et $v$, nous pouvons aller au-delà de cette droite. En fait, ils permettent de construire n’importe quel couple $(x,y)$. La question devient $a+b=x$, $a-b=y$. Le même calcul qu’auparavant donne

Ces expressions sont des nombres pour tous les choix de $x$ et $y$. Elles donnent donc une construction pour chaque cible du plan. Ce résultat sera important quand nous parlerons de bases.

2.4 Le nom de l’ensemble des résultats possibles#

L’espace engendré par des vecteurs est l’ensemble de tous les vecteurs que l’on peut construire en combinant ces vecteurs avec des coefficients autorisés. On note celui engendré par $u$ et $v$ :

Lisons cette écriture : les accolades décrivent un ensemble ; $au+bv$ décrit ses éléments ; ce qui suit les deux-points précise que l’on prend toutes les valeurs réelles possibles de $a,b$. Le cours anglais écrit span au lieu de $\operatorname{Vect}$. C’est le même ensemble.

Nous avons ainsi montré que $\operatorname{Vect}(u)$ est une droite et que $\operatorname{Vect}(u,v)$ est tout le plan pour notre choix particulier de $u,v$. Si le deuxième vecteur avait été $2u$, il n’aurait apporté aucune possibilité supplémentaire : toutes les combinaisons seraient restées sur la même droite.

3. Plusieurs équations à respecter en même temps

3.1 Ce que demande un système#

Considérons les deux équations $2x+y=7$ et $x-y=2$. Les nombres $x,y$ sont inconnus. Nous cherchons un même couple qui vérifie les deux équations. Cet ensemble d’équations constitue un système.

Le couple $(3,1)$ convient : $2\times3+1=7$ et $3-1=2$. Le couple $(2,3)$ ne convient pas : il vérifie la première équation, mais pas la seconde. Une solution du système doit satisfaire toutes les équations simultanément.

Les équations que nous étudions ici sont dites linéaires : les inconnues sont multipliées par des nombres connus, puis additionnées. On n’y trouve ni $x^2$, ni $xy$, ni $1/x$. Ainsi, $2x+y=7$ est linéaire ; $x^2+y=7$ ne l’est pas.

3.2 Résoudre en faisant disparaître une inconnue#

Appelons la première équation $L_1$ et la seconde $L_2$. Le symbole $L$ servira à repérer une ligne de calcul. Additionnons-les :

Les termes $+y$ et $-y$ s’annulent. Il reste $3x=9$, donc $x=3$. En revenant à $x-y=2$, on obtient $3-y=2$, donc $y=1$. On finit par remplacer les deux nombres dans les deux équations initiales, comme nous l’avons fait plus haut.

Cette résolution illustre une stratégie générale : combiner les équations pour faire disparaître des inconnues. Lorsque le système comporte davantage d’équations, nous organisons ces opérations dans un tableau.

3.3 Mettre les coefficients dans un tableau#

Dans $2x+y=7$, les coefficients de $x$ et de $y$ sont 2 et 1. Dans $x-y=2$, ils sont 1 et −1. Nous les rangeons en gardant toujours le même ordre des inconnues :

La première colonne contient les coefficients de $x$, la deuxième ceux de $y$. La dernière colonne contient les nombres situés à droite des signes égal. La barre verticale rappelle la séparation entre les deux côtés des équations.

Un tableau de nombres rectangulaire s’appelle une matrice. « Rectangulaire » signifie que toutes ses lignes ont le même nombre de positions. La matrice des seuls coefficients est ici $\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Elle a deux lignes et deux colonnes : on dit qu’elle est de taille $2\times2$. Avec la colonne de droite ajoutée, le tableau s’appelle la matrice augmentée du système.

Il faut écrire les zéros qui correspondent aux inconnues absentes. Par exemple, $y=4$ se traduit par la ligne $[0\quad1\mid4]$ si l’ordre choisi est $x,y$. Omettre ce zéro déplacerait toutes les informations.

4. La méthode de Gauss, une opération à la fois

Notre objectif est de transformer un système en un autre qui a exactement les mêmes solutions, mais qui est plus facile à lire. Nous allons d’abord suivre un calcul complet. La procédure générale viendra ensuite.

4.1 Les opérations qui conservent les solutions#

On peut échanger deux équations : leur ordre ne change pas les conditions à respecter. On peut multiplier les deux côtés d’une équation par un même nombre non nul : on peut retrouver l’ancienne en divisant par ce nombre. Enfin, on peut ajouter à une équation un multiple d’une autre, à condition de conserver cette autre équation : on peut ensuite annuler l’opération en soustrayant ce même multiple.

Le point commun est que ces opérations sont réversibles. Elles ne suppriment pas d’information. Multiplier une équation par zéro, en revanche, la remplacerait par $0=0$ et ferait perdre sa condition.

Dans les tableaux, on écrit par exemple $L_2\leftarrow L_2-2L_1$. Cela se lit : « remplacer la deuxième ligne par la deuxième ligne moins deux fois la première ». La flèche indique le remplacement. La première ligne reste inchangée.

4.2 Un calcul avec trois inconnues#

Prenons le système suivant, avec les inconnues toujours rangées dans l’ordre $x,y,z$ :

La première équation comporte un coefficient 1 devant $x$. Utilisons-le pour enlever $x$ des deux autres équations. Ce coefficient choisi pour faire les éliminations s’appelle un pivot. Il doit être non nul.

Dans la deuxième équation, on retire deux fois la première. Le coefficient de $x$ devient $2-2\times1=0$. Les autres coefficients et le nombre de droite subissent exactement la même opération :

ce qui donne $y-z=-1$. Pour la troisième équation, on retire une fois la première : $(x+2y+3z)-(x+y+z)=14-6$, donc $y+2z=8$. Le système est devenu

Nous avons fini de traiter $x$. Le coefficient 1 devant $y$ dans la deuxième ligne devient le pivot suivant. Pour enlever $y$ de la troisième ligne, retirons la deuxième ligne à la troisième : $(y+2z)-(y-z)=8-(-1)$. On trouve $3z=9$.

La forme finale se lit du bas vers le haut :

D’abord, $z=3$. Ensuite, $y-3=-1$, donc $y=2$. Enfin, $x+2+3=6$, donc $x=1$. Ce retour dans les équations précédentes s’appelle la substitution arrière.

Le contrôle dans le système de départ donne $1+2+3=6$, $2+6+3=11$, et $1+4+9=14$. Les trois conditions sont bien satisfaites.

4.3 Le même calcul dans les tableaux#

Voici maintenant les mêmes opérations sans les lettres des inconnues. À chaque étape, tu dois pouvoir retrouver les équations que nous venons de lire.

Après $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$, on obtient

Après $L_3\leftarrow L_3-L_2$, avec la deuxième ligne telle qu’elle est maintenant, on obtient

Les zéros sous les pivots forment un escalier. On appelle ce résultat une forme échelonnée. Les pivots se trouvent de plus en plus à droite quand on descend les lignes. Une fois cette forme atteinte, la remontée permet de résoudre.

4.4 Que faire si le coefficient choisi vaut zéro ?#

On ne divise jamais par zéro. Si une ligne plus bas possède un coefficient non nul dans la colonne à traiter, on l’échange avec la ligne courante. Par exemple, devant les lignes $[0\quad1\mid3]$ et $[2\quad1\mid5]$, on commence en plaçant la deuxième au-dessus.

Si toutes les entrées restantes de la colonne sont nulles, il n’y a plus rien à éliminer dans cette colonne. On passe à la suivante. Cela pourra laisser une inconnue que les équations ne déterminent pas à elles seules.

4.5 Une ligne peut ne plus rien demander, ou demander l’impossible#

Considérons $x+2y=4$ et $2x+4y=8$. En retirant deux fois la première équation à la seconde, on trouve $0=0$. Cette égalité est toujours vraie. La deuxième équation répétait donc une information déjà connue.

Il reste seulement $x+2y=4$. On peut choisir $y$ librement ; ensuite, $x$ est imposé. Appelons $t$ le nombre choisi pour $y$. Alors

Le nombre $t$ s’appelle un paramètre : il peut prendre toutes les valeurs réelles. Pour $t=0$, la solution est $(4,0)$. Pour $t=1$, elle est $(2,1)$. La formule donne toutes les solutions, sans avoir à les énumérer.

On dit que $y$ est une variable libre, parce qu’on peut choisir sa valeur. L’écriture $(x,y)=(4-2t,t)$, avec $t$ réel, est une paramétrisation des solutions : elle les décrit à l’aide de ce choix libre.

Si la deuxième équation avait été $2x+4y=9$, la même soustraction aurait donné $0=1$. Aucun choix de $x,y$ ne peut rendre cette égalité vraie. Le système n’a alors aucune solution. On l’appelle incompatible. Un système compatible possède au moins une solution.

Pour des coefficients réels ou complexes, trois situations sont possibles : aucune solution ; une seule solution ; ou une infinité de solutions, décrites par un ou plusieurs paramètres. Dans les systèmes compatibles, chaque inconnue libre apporte un paramètre indépendant des autres.

4.6 Gauss–Jordan : terminer les éliminations#

On peut pousser le calcul pour obtenir des pivots égaux à 1 et des zéros au-dessus aussi bien qu’en dessous. Par exemple, le tableau $[\begin{smallmatrix}1&2&|&4\\0&1&|&1\end{smallmatrix}]$ dit $x+2y=4$, $y=1$. Retirer deux fois la deuxième ligne à la première donne $[\begin{smallmatrix}1&0&|&2\\0&1&|&1\end{smallmatrix}]$, qui dit directement $x=2,y=1$.

Cette variante est la méthode de Gauss–Jordan. Le résultat est une forme échelonnée réduite, appelée RREF dans le support anglais. On l’utilisera quand il faudra lire facilement toutes les solutions ou calculer un inverse.

5. Faire les mêmes opérations sur d’autres objets

Nous savons additionner des couples et les multiplier par des nombres. Le cours utilise le même mécanisme pour des matrices, des polynômes et des fonctions. Nous allons vérifier ce que les mots « somme », « zéro » et « opposé » signifient dans chaque cas.

5.1 Les matrices : agir sur chaque position#

Nous avons rencontré une matrice comme tableau de coefficients. Elle peut aussi être l’objet que l’on additionne. Pour deux matrices de même taille, on additionne les nombres situés à la même position :

Multiplier une matrice par 2 revient à multiplier toutes ses entrées par 2. Une entrée est un nombre à une position du tableau. Le zéro, pour des matrices de taille $2\times2$, est $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. L’opposé de la première matrice est $\begin{pmatrix}-1&-2\\1&0\end{pmatrix}$.

Les tailles doivent être identiques pour l’addition : sinon, certaines positions n’auraient pas de correspondant. L’ensemble de toutes les matrices réelles de taille $m\times n$ se note $M_{m,n}(\mathbb R)$. Ici, $m$ compte les lignes, $n$ les colonnes, et $\mathbb R$ précise que les entrées sont des nombres réels.

5.2 Les polynômes : agir sur chaque coefficient#

Un polynôme, comme $p(X)=2-3X+X^2$, est une somme de puissances entières positives ou nulles de $X$, multipliées par des nombres. Les nombres 2, −3 et 1 sont ses coefficients. Son degré est la plus grande puissance dont le coefficient est non nul : ici, 2.

Pour ajouter deux polynômes, on regroupe les termes qui ont la même puissance. Par exemple, avec $q(X)=1+2X$, on obtient

Le zéro est le polynôme dont tous les coefficients valent zéro. Il vaut zéro pour toute valeur de $X$. L’opposé de $p$ est $-2+3X-X^2$ : leur somme est bien le polynôme nul.

On note $P_2(\mathbb R)$ l’ensemble des polynômes réels de degré au plus 2. Il contient donc aussi $1$, $X$, et le polynôme nul. « Au plus » est indispensable : en additionnant $X^2$ et $-X^2$, le terme de degré 2 disparaît. L’ensemble des seuls polynômes de degré exactement 2 ne serait pas conservé par l’addition.

5.3 Les fonctions : agir sur chaque valeur#

Une fonction associe une valeur à chaque nombre de son domaine. Pour additionner deux fonctions définies sur le même domaine, on additionne leurs valeurs au même point :

Par exemple, si $f(t)=t^2$ et $g(t)=2t$, leur somme est la fonction $t\mapsto t^2+2t$. Multiplier $f$ par 3 donne la fonction $t\mapsto3t^2$. La fonction nulle donne zéro à chaque point du domaine. L’opposé de $f$ donne $-f(t)$ à chaque point.

Une suite peut se voir comme une fonction dont l’argument est un entier : elle donne un nombre pour $n=0$, un autre pour $n=1$, etc. La suite nulle est alors celle dont tous les termes valent zéro.

5.4 Pourquoi le même mot « vecteur » s’applique ici#

Nous n’avons pas besoin que l’objet soit une flèche pour faire ces calculs. Ce qui nous sert est la possibilité de l’additionner à un objet du même genre et de le multiplier par un nombre, avec les règles habituelles. Dans l’étude de cette structure, on appelle aussi vecteurs les matrices, les polynômes ou les fonctions concernés.

Ce changement de vocabulaire n’ajoute pas une nouvelle opération. « Un vecteur de $P_2$ » signifie simplement « un polynôme de cet ensemble ». Pour calculer, on revient aux règles sur ses coefficients. Nous allons maintenant préciser quelles règles rendent ce langage possible.

6. Quand un ensemble permet tous ces calculs

6.1 L’idée d’un espace vectoriel#

Prenons l’ensemble de tous les couples de nombres réels. Additionner deux de ses éléments donne encore un couple réel. Multiplier un de ses éléments par un nombre réel donne encore un couple réel. Nous pouvons donc enchaîner ces deux opérations sans quitter l’ensemble.

Les règles habituelles du calcul restent vraies : changer l’ordre d’une addition ne change pas son résultat ; les parenthèses d’une somme de trois vecteurs ne changent pas le résultat ; on peut développer $2(u+v)$ en $2u+2v$. Le vecteur nul et les opposés appartiennent aussi à l’ensemble.

Un ensemble où l’on peut faire ces opérations avec ces règles s’appelle un espace vectoriel. Le nom désigne donc un cadre de calcul. L’ensemble de tous les couples réels est un espace vectoriel ; l’ensemble de toutes les matrices réelles d’une taille fixée en est un autre.

On note l’ensemble des couples réels $\mathbb R^2$. Le symbole $\mathbb R$ signifie « nombres réels », et le 2 indique qu’il y a deux coordonnées. De même, $\mathbb R^3$ contient les triplets et $\mathbb R^n$ les listes de $n$ coordonnées réelles.

6.2 « Rester dans l’ensemble » : la stabilité#

Le fait de rester dans un ensemble après une opération s’appelle la stabilité par cette opération. Il faut lire cette propriété avec le mot « tous » : toute somme de deux éléments doit rester dans l’ensemble, et tout multiple par un réel doit aussi y rester.

L’ensemble des couples dont les coordonnées sont strictement positives échoue à ce test. Par exemple, $(1,2)$ en fait partie, mais son multiple par −1, $(-1,-2)$, n’en fait pas partie. Cet ensemble ne permet donc pas les calculs requis pour être un espace vectoriel avec les opérations habituelles.

Un seul exemple qui échoue suffit à réfuter une propriété censée être vraie pour tous. En revanche, quelques exemples qui fonctionnent ne prouvent pas qu’elle fonctionne toujours. Pour prouver la stabilité, il faut un raisonnement qui ne dépend pas de valeurs particulières.

6.3 Les règles à vérifier, avant leurs noms techniques#

Voici le sens des règles de la définition. Pour l’addition, on doit pouvoir additionner dans n’importe quel ordre et regrouper les termes librement. Il faut un objet qui ne change rien quand on l’ajoute, le zéro, et un objet qui annule chaque vecteur, son opposé.

Pour la multiplication par un nombre, multiplier par 1 ne doit rien changer. Multiplier par 3 puis par 2 doit donner le même résultat que multiplier directement par 6. Enfin, on doit pouvoir développer une somme, que la somme soit dans les vecteurs ou dans les nombres qui les multiplient.

Le tableau suivant met un nom et une écriture sur ces règles. Les lettres $u,v,w$ représentent des vecteurs quelconques de l’ensemble ; $a,b$ sont des nombres réels quelconques. Dans une preuve, « quelconque » signifie que nous ne leur donnons pas une valeur particulière.

Ces règles sont les axiomes de la définition : les conditions exigées pour appeler l’ensemble un espace vectoriel. Dans le support, les deux stabilités sont comptées parmi les dix conditions. Elles ne sont pas dix formules indépendantes à apprendre sans raison : elles garantissent que les manipulations faites sur les combinaisons sont légitimes.

6.4 Comment vérifier une règle sans tester mille exemples#

Prenons des matrices d’une taille fixée, additionnées position par position. Pour montrer $a(A+B)=aA+aB$, observons une position quelconque. Si elle contient $r$ dans $A$ et $s$ dans $B$, elle contient $a(r+s)$ à gauche et $ar+as$ à droite. Ces nombres sont égaux par le calcul réel usuel.

Le même raisonnement vaut à chaque position. Les matrices entières sont donc égales. On dit que la propriété se vérifie entrée par entrée. Pour des couples, ce serait coordonnée par coordonnée ; pour des polynômes, coefficient par coefficient ; pour des fonctions, valeur par valeur.

Cette façon de raisonner fournit aussi les autres règles : à chaque position, on invoque la règle correspondante pour les nombres réels. Il faut en plus vérifier que les résultats restent des objets autorisés, et que le zéro et les opposés appartiennent à l’ensemble.

6.5 Quelques symboles qui abrègent ces phrases#

Le symbole $u\in V$ se lit « $u$ appartient à l’ensemble $V$ ». Le symbole $S\subset V$ signifie que tous les éléments de $S$ sont aussi dans $V$. Le symbole $\forall$ se lit « pour tout », et $\exists$, « il existe ». Ainsi, $\forall u\in V,\ 1u=u$ dit exactement « pour chaque vecteur de l’ensemble, le multiplier par 1 ne le change pas ».

Ces écritures servent à raccourcir une phrase connue. Si elles rendent une preuve difficile à suivre, commence par écrire la phrase en toutes lettres, puis reviens aux symboles.

7. Restreindre les objets autorisés sans casser les règles

7.1 Une droite qui accepte encore tous les calculs#

Partons de tous les couples réels, puis ne gardons que ceux de la forme $(t,2t)$. Par exemple, $(1,2)$, $(-3,-6)$ et $(0,0)$ sont autorisés. Sur le dessin, ils forment la droite d’équation $y=2x$.

Prenons deux éléments quelconques de cette droite : $(s,2s)$ et $(t,2t)$. Leur somme est $(s+t,2s+2t)=(s+t,2(s+t))$. C’est encore un couple de la forme imposée. Si nous multiplions $(s,2s)$ par un nombre $a$, nous obtenons $(as,2as)$, également de cette forme.

Le zéro est dans la droite. L’addition et la multiplication par un nombre restent donc possibles dans ce sous-ensemble. Les autres règles, comme la distributivité, restent vraies puisqu’il s’agit des mêmes opérations sur les mêmes couples. Cet ensemble plus petit est lui-même un espace vectoriel : on l’appelle un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$.

7.2 Le test de sous-espace et sa justification#

Un espace plus grand, déjà connu, sert ici de point de départ. On l’appelle l’espace ambiant. Dans un de ses sous-ensembles, avec les opérations inchangées, il suffit de vérifier trois choses : le zéro est présent, les sommes restent dans l’ensemble, et les multiples aussi.

Pourquoi n’a-t-on pas à refaire les dix vérifications ? Les égalités sont déjà vraies dans l’espace plus grand. Il reste à s’assurer qu’aucune opération nécessaire ne nous fait sortir du sous-ensemble. En particulier, les opposés restent disponibles, car l’opposé de $u$ est son multiple par −1.

On peut réunir les deux stabilités en un seul test : si $u,v$ appartiennent au sous-ensemble, alors $au+bv$ doit aussi lui appartenir, pour tous les nombres réels $a,b$. Cette écriture est simplement une combinaison linéaire de deux éléments.

7.3 Une contrainte et une preuve entièrement développée#

Dans $\mathbb R^3$, gardons les triplets qui vérifient $x+2y-z=0$. Pour prouver que cet ensemble est un sous-espace, nous devons vérifier la contrainte après chaque opération.

Le triplet nul convient : $0+2\times0-0=0$. Prenons maintenant deux triplets autorisés, $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$. Les petits indices 1 et 2 servent seulement à distinguer les coordonnées des deux triplets. Par hypothèse,

Leur somme a les coordonnées $(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$. Testons la contrainte sur cette somme :

Elle est donc respectée. Pour un multiple $au$, le même test donne $ax_1+2ay_1-az_1=a(x_1+2y_1-z_1)=a\times0=0$. Les trois conditions sont vérifiées ; l’ensemble est bien un sous-espace.

Les lettres ont permis de traiter tous les triplets autorisés à la fois. Nous n’avons pas choisi des exemples particuliers en espérant qu’ils représentent les autres.

7.4 Décrire exactement les triplets de l’ensemble#

La contrainte $x+2y-z=0$ donne $z=x+2y$. On peut choisir $x=s$ et $y=t$, puis $z=s+2t$. Tous les triplets autorisés s’écrivent donc

Nous avons paramétré l’ensemble : $s,t$ sont les deux choix libres. Nous avons aussi montré comment construire ses vecteurs avec deux vecteurs fixes. Réciproquement, tout triplet écrit de cette façon respecte la contrainte, car $s+2t-(s+2t)=0$. Ce second sens confirme que la description n’ajoute aucun élément interdit.

7.5 Ce qui change quand le nombre de droite n’est pas zéro#

Si la contrainte devient $x+2y-z=3$, le triplet nul ne convient plus. Le sous-espace échoue donc dès le premier test. Il est inutile de poursuivre pour montrer que ce n’est pas un sous-espace.

La forme des solutions reste facile à lire : $z=x+2y-3$, donc

Il y a une partie fixe, puis les mêmes directions que précédemment. L’ensemble est un plan déplacé. Le terme du cours est espace affine : un sous-espace auquel on a ajouté un vecteur fixe.

Une équation linéaire dont le nombre de droite vaut zéro est dite homogène. Plusieurs contraintes linéaires homogènes définissent toujours un sous-espace, car les calculs de stabilité que nous venons de faire s’appliquent à chacune. Une contrainte non homogène, comme celle avec 3, exclut le vecteur nul.

7.6 Contenir zéro ne suffit pas à lui seul#

Gardons les couples qui sont sur l’un des deux axes : leur première ou leur seconde coordonnée vaut zéro. Le zéro appartient bien à cet ensemble. Pourtant, $(1,0)$ et $(0,1)$ sont autorisés, alors que leur somme $(1,1)$ ne l’est pas. La stabilité par addition échoue.

8. Savoir si un objet est dans un espace engendré

Nous avons déjà appris le principe avec des couples : chercher des coefficients pour construire la cible. La même méthode fonctionne pour des polynômes et des matrices. Ce qui change est la façon de comparer les deux côtés de l’égalité.

8.1 Avec des polynômes, comparer chaque puissance#

Les deux polynômes disponibles sont $p_1(X)=1+X$ et $p_2(X)=X+X^2$. Peut-on construire $q(X)=2+3X+X^2$ avec eux ? Appelons $a,b$ les coefficients recherchés :

Développons seulement le membre de gauche et regroupons ses puissances :

Pour que les polynômes soient égaux, leurs coefficients doivent être égaux à chaque puissance. Le terme constant demande $a=2$. Le coefficient de $X$ demande $a+b=3$. Celui de $X^2$ demande $b=1$. Ces trois conditions peuvent être satisfaites en même temps.

La réponse est donc oui : $q=2p_1+p_2$. Le calcul direct $2(1+X)+(X+X^2)=2+3X+X^2$ contrôle le résultat.

Pour la cible $2+4X+X^2$, les termes constant et quadratique imposeraient encore $a=2,b=1$, mais le coefficient de $X$ demanderait $a+b=4$. On obtiendrait alors $3=4$. Il n’existe pas de combinaison pour cette cible.

8.2 Avec des matrices, comparer les positions#

Si les matrices disponibles sont diagonales, c’est-à-dire avec des zéros en dehors de la diagonale qui va du haut gauche au bas droit, toutes leurs combinaisons resteront diagonales. Une cible comportant un 7 en haut à droite est donc impossible à construire. Cette observation est déjà une preuve.

Si cette observation simple ne suffit pas, on procède exactement comme pour les polynômes. On met un coefficient inconnu devant chaque matrice, on développe la combinaison et on compare chaque entrée avec celle de la cible. Une matrice $2\times2$ fournit jusqu’à quatre équations, une par position.

8.3 Pourquoi cette méthode répond exactement à la question#

Dire que $q$ est dans l’espace engendré par $p_1,p_2$ signifie, par définition, qu’il existe des nombres $a,b$ tels que $q=ap_1+bp_2$. La méthode ne fait donc pas une approximation : elle traduit mot à mot la définition en équations.

Si les équations ont plusieurs solutions, la cible est constructible de plusieurs façons. Si elles en ont une seule, sa construction avec cette liste de vecteurs est unique. Cela nous conduit à la question suivante : comment choisir des vecteurs qui permettent de tout décrire, sans redondance ?

9. Choisir les vecteurs nécessaires, sans redondance

9.1 Une liste peut contenir des vecteurs inutiles#

Avec $u=(1,1)$, $v=(1,-1)$ et $w=(2,0)$, on peut construire tout le plan. Mais $w=u+v$. Si un calcul utilise $w$, on peut le remplacer par $u+v$. Par exemple, $2u+3w=5u+3v$. Le troisième vecteur n’ajoute aucune possibilité.

Pour repérer ce genre de redondance, on cherche une combinaison qui donne zéro sans que tous les coefficients soient nuls. Ici, $u+v-w=0$. Les coefficients 1, 1 et −1 donnent une telle relation. On dit que la liste est liée, ou que ses vecteurs sont linéairement dépendants.

Une liste de vecteurs est appelée une famille. Elle est libre lorsque la seule combinaison qui donne zéro est celle dont tous les coefficients sont nuls. Le mot « libre » signifie ici qu’aucun vecteur de la liste n’est rendu inutile par les autres.

9.2 Vérifier la liberté sur notre exemple#

Pour la famille $(u,v)$, cherchons les nombres $a,b$ tels que $au+bv=0$. Comme dans la partie 2, les coordonnées donnent

Additionner donne $2a=0$, donc $a=0$, puis $b=0$. Il n’existe aucune autre solution : cette famille est libre.

Avec trois vecteurs ou plus, il ne suffit pas de vérifier les paires. Les vecteurs $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ ne comportent aucune paire proportionnelle, mais le troisième est la somme des deux premiers. Il faut tester une relation qui porte sur toute la famille.

9.3 Une base donne une description qui existe et qui est unique#

Nous avons établi deux choses pour $u,v$ : ils permettent de construire tout le plan, et ils sont libres. Une famille qui possède ces deux propriétés s’appelle une base.

La première propriété garantit qu’une description existe pour toute cible. On dit que la famille est génératrice de l’espace. La seconde garantit que la description est unique. Si $w=au+bv=a'u+b'v$, soustraire les deux écritures donne $(a-a')u+(b-b')v=0$. La liberté impose $a=a'$ et $b=b'$.

Les coefficients de cette unique écriture sont les coordonnées dans la base. Pour $w=(3,1)$, nous avons trouvé $w=2u+v$. Ses coordonnées dans la base $\mathcal B=(u,v)$ sont donc $(2,1)$. On écrit

Les crochets avec l’indice $\mathcal B$ demandent de lire « coordonnées de $w$ dans la base $\mathcal B$ ». Le vecteur $w$ reste $(3,1)$ dans les coordonnées de départ. Les nombres $(2,1)$ décrivent comment le fabriquer avec $u,v$.

9.4 La dimension compte les coefficients nécessaires#

Pour décrire un élément du plan dans une base, il faut deux coefficients. Pour décrire un élément d’une droite par un vecteur non nul de cette droite, un seul coefficient suffit. Le nombre de vecteurs d’une base est la dimension de l’espace.

Toutes les bases d’un même espace ont le même nombre de vecteurs. L’idée derrière ce résultat est qu’une famille libre ne peut pas avoir plus de vecteurs qu’une famille qui engendre tout l’espace : chaque direction indépendante a besoin d’une place dans la description. En comparant deux bases dans les deux sens, leurs tailles sont obligatoirement égales. Une justification plus détaillée est disponible dans les approfondissements.

Les couples ont dimension 2, les triplets dimension 3. Un polynôme de $P_2$ s’écrit de façon unique $a+bX+cX^2$. La famille $(1,X,X^2)$ est donc une base, et la dimension vaut 3, malgré l’indice 2 de $P_2$. Cet indice indique le degré maximal.

Une matrice $m\times n$ possède $mn$ positions indépendantes à remplir. Une base s’obtient avec une matrice valant 1 dans une position et 0 partout ailleurs, pour chacune des positions. Sa dimension est donc $mn$. L’espace qui contient seulement le vecteur nul a dimension 0 : aucune direction n’est nécessaire pour le construire.

9.5 Les raccourcis deviennent justifiés#

Dans un espace de dimension $n$, une famille de $n$ vecteurs libres est automatiquement une base : elle comporte déjà toutes les directions nécessaires. Une famille génératrice de $n$ vecteurs est aussi une base : il ne reste aucune place pour une redondance. Une famille de plus de $n$ vecteurs est liée, et moins de $n$ vecteurs ne peuvent engendrer tout l’espace.

Pour construire une base, on peut donc partir de générateurs et supprimer les redondances. Ou partir d’une famille libre et ajouter un vecteur qui ne peut pas encore être construit, jusqu’à engendrer l’espace entier. Nous verrons comment Gauss organise ces choix pour des coordonnées.

10. Une matrice peut transformer une liste de nombres

10.1 Lire le produit d’une matrice et d’un vecteur#

Reprenons $2x+y=7$, $x-y=2$. Avec $x=3,y=1$, le calcul des deux membres de gauche donne 7 et 2. Nous pouvons enregistrer ce calcul par une seule écriture :

Voici la règle qui définit ce produit. Pour le premier nombre de sortie, prendre la première ligne du tableau : $2\times3+1\times1=7$. Pour le deuxième, prendre la deuxième ligne : $1\times3+(-1)\times1=2$. Chaque ligne donne un nombre de sortie en combinant les nombres d’entrée.

Si nous appelons la matrice $A$, le vecteur d’entrée $x$ et le vecteur de sortie $b$, cette opération s’écrit $Ax=b$. Dans cette notation, $x$ représente toute la colonne d’inconnues, pas seulement une de ses coordonnées. Résoudre le système signifie retrouver une entrée qui donne la sortie demandée.

10.2 Les colonnes disent aussi comment la sortie est construite#

On peut effectuer le même calcul par colonnes :

Chaque nombre d’entrée multiplie la colonne correspondante. La somme est la sortie. La multiplication par une matrice est donc une combinaison de ses colonnes.

Cette lecture explique pourquoi chercher une solution de $Ax=b$ revient à chercher si $b$ appartient à l’espace engendré par les colonnes de $A$. Ce sont deux formulations de la même construction, avec les mêmes coefficients inconnus.

10.3 Compter les entrées et les sorties#

Une matrice de taille $m\times n$ possède $n$ colonnes : elle attend $n$ nombres en entrée. Elle possède $m$ lignes : elle produit $m$ nombres en sortie. Le vecteur d’entrée appartient donc à $\mathbb R^n$, le vecteur de sortie à $\mathbb R^m$.

Par exemple, $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ prend trois nombres et en produit deux. Pour l’entrée $(x,y,z)$, la sortie est $(x+z,y+z)$. Les vecteurs d’entrée et de sortie n’ont pas besoin d’avoir la même taille.

10.4 Ce que signifie « application linéaire »#

Une application est une règle qui associe une sortie à chaque entrée. Pour une matrice, cette règle est « effectuer le produit que nous venons de définir ». Le terme transformation est aussi utilisé.

Une application est dite linéaire si elle respecte les deux opérations du cours : la sortie d’une somme est la somme des sorties, et la sortie d’un multiple est le même multiple de la sortie. Si on note l’application $T$, ces deux phrases s’écrivent

Les matrices donnent de telles applications : développer le produit ligne par ligne vérifie ces égalités. On peut aussi les réunir en $T(au+bv)=aT(u)+bT(v)$. Cette propriété explique l’adjectif « linéaire » que nous rencontrons dans les combinaisons et les systèmes.

Une règle linéaire envoie nécessairement zéro sur zéro, puisque $T(0u)=0T(u)$. Mais envoyer zéro sur zéro ne suffit pas : la fonction $T(t)=t^2$ le fait, alors que $T(1+1)=4$ et $T(1)+T(1)=2$. Elle ne respecte pas l’addition.

10.5 Connaître les sorties des vecteurs de base suffit#

Si $u,v$ forment une base et si l’on connaît $T(u),T(v)$, alors la sortie de $au+bv$ est obligatoirement $aT(u)+bT(v)$. Comme chaque entrée s’écrit dans cette base, nous connaissons toute l’application.

Pour en faire une matrice, on place les coordonnées de $T(u)$ dans la première colonne et celles de $T(v)$ dans la deuxième. Il faut préciser dans quelle base les sorties sont décrites. Nous développerons les changements de base plus loin ; le principe des colonnes est déjà entièrement expliqué par la linéarité.

10.6 Multiplier deux matrices : faire deux transformations à la suite#

Si une matrice $B$ produit une sortie que la matrice $A$ peut prendre en entrée, on peut calculer $A(Bx)$. On appelle $AB$ la matrice qui effectue les deux calculs à la suite. Dans $AB$, on applique donc d’abord $B$, puis $A$.

La colonne de sortie de $B$ correspondant à une entrée de base devient à son tour une entrée pour $A$. Ainsi, la colonne numéro $j$ de $AB$ est $A$ multipliée par la colonne numéro $j$ de $B$. On obtient la règle usuelle : chaque entrée du produit est le produit d’une ligne de $A$ par une colonne de $B$, en additionnant les produits des positions correspondantes.

La taille doit permettre l’enchaînement : le nombre de colonnes de $A$ doit être le nombre de lignes de $B$. Le produit d’une matrice $m\times n$ par une matrice $n\times p$ a la taille $m\times p$.

11. Les entrées qui disparaissent et les sorties possibles

11.1 Le noyau : ce qui est envoyé sur zéro#

Prenons la matrice qui transforme $(x,y,z)$ en $(x+z,y+z)$ :

Quelles entrées donnent la sortie $(0,0)$ ? Les équations sont $x+z=0$, $y+z=0$. On choisit $z=t$, puis $x=-t,y=-t$. Les entrées recherchées sont donc les multiples de $(-1,-1,1)$.

L’ensemble des entrées envoyées sur zéro s’appelle le noyau de la matrice. On le note $\ker A$. Dans notre exemple,

Le noyau est un sous-espace : la somme de deux entrées envoyées sur zéro donne encore zéro par linéarité, et il en va de même pour les multiples. Il décrit l’information que la transformation fait disparaître. Ajouter un élément du noyau à une entrée ne change pas sa sortie.

11.2 L’image : tout ce que l’on peut atteindre en sortie#

Peut-on obtenir n’importe quelle sortie $(r,s)$ avec notre matrice ? Oui : choisir l’entrée $(r,s,0)$ donne précisément $(r,s)$. L’ensemble de toutes les sorties possibles est donc tout $\mathbb R^2$.

Cet ensemble s’appelle l’image de la matrice et se note $\operatorname{Im}A$. Comme la sortie est une combinaison des colonnes, l’image est exactement l’espace engendré par ces colonnes. C’est donc aussi un sous-espace.

Le noyau contient des entrées : ici, des triplets. L’image contient des sorties : ici, des couples. Ils peuvent vivre dans des espaces différents. Cette distinction est utile pour savoir de quelle taille doivent être les vecteurs que l’on cherche.

11.3 Retrouver toutes les entrées qui donnent une sortie donnée#

Demandons maintenant la sortie $(2,3)$. Les équations deviennent $x+z=2$, $y+z=3$. Elles donnent

Nous reconnaissons une entrée qui convient, $(2,3,0)$, puis tous les éléments du noyau ajoutés à cette entrée. Une entrée choisie qui convient s’appelle une solution particulière. Le système avec la sortie zéro s’appelle le système homogène associé.

Ce principe est général : si $Ax_p=b$, toutes les solutions de $Ax=b$ sont exactement $x_p+h$, où $h$ parcourt le noyau. En effet, $A(x_p+h)=Ax_p+Ah=b+0$. Réciproquement, deux solutions qui donnent le même $b$ ont une différence envoyée sur zéro.

11.4 Extraire le noyau et l’image avec Gauss#

Pour le noyau, la méthode est directe : résoudre $Ax=0$. Les variables libres fournissent une paramétrisation ; écrire un vecteur fixe devant chaque paramètre donne une base du noyau.

Pour l’image, on cherche des colonnes indépendantes qui suffisent à reconstruire toutes les autres. Gauss les repère : ce sont les colonnes qui contiennent les pivots. Mais les vecteurs à garder sont ceux de la matrice initiale. Les opérations sur les lignes peuvent changer leurs coordonnées de sortie.

12. Le rang : combien de directions la matrice conserve

12.1 Compter les sorties indépendantes#

Dans l’exemple $A$ de la partie précédente, toutes les sorties du plan étaient possibles. L’image avait dimension 2. Dans l’exemple $C$, les sorties étaient des triplets, mais elles étaient toutes construites avec deux colonnes indépendantes : l’image avait aussi dimension 2.

La dimension de l’image s’appelle le rang. C’est le nombre de directions de sortie indépendantes. On peut le calculer en comptant les pivots après Gauss. Dans l’exemple $C$, il y en avait deux, donc son rang vaut 2.

Une matrice de taille $m\times n$ ne peut avoir un rang supérieur au nombre $n$ de ses colonnes, ni au nombre $m$ de coordonnées de sortie. Son rang est donc au plus le plus petit de ces deux nombres.

12.2 D’où vient le nombre de paramètres libres#

Si une matrice possède $n$ colonnes, il y a $n$ inconnues en entrée. Chaque pivot détermine une de ces inconnues en fonction de celles qui restent. Avec $r$ pivots, il reste donc $n-r$ variables libres dans le système homogène.

La dimension du noyau est donc $n-r$. Cette comptabilité porte le nom de théorème du rang, ou rang–nullité :

Pour $C$, quatre coordonnées d’entrée se répartissent en deux directions de sortie et deux directions qui donnent zéro : $4=2+2$. Le mot nullité du support anglais désigne la dimension du noyau.

12.3 Utiliser le rang pour comprendre un système#

Une sortie $b$ est réalisable si elle est une combinaison des colonnes de $A$, c’est-à-dire si elle appartient à l’image. Si on ajoute $b$ comme colonne supplémentaire, deux choses peuvent se produire : elle n’ajoute aucune direction, ou elle ajoute une direction qui n’était pas disponible.

Dans le premier cas, le rang ne change pas et le système est compatible. Dans le second, le rang augmente et aucune entrée ne peut donner $b$. C’est le sens du critère

Le symbole $\Longleftrightarrow$ se lit « si et seulement si » : chacune des deux affirmations entraîne l’autre. Si le système est compatible et si $A$ a $n$ colonnes, ses solutions possèdent $n-r$ paramètres. Si ce nombre est zéro, la solution est unique.

12.4 Deux mots pour distinguer les possibilités d’une application#

Une application est injective si deux entrées différentes ne peuvent pas donner la même sortie. Pour une application linéaire, cela revient à avoir seulement zéro dans le noyau : la différence de deux entrées ayant la même sortie serait dans ce noyau.

Elle est surjective si toutes les sorties de l’espace d’arrivée sont atteignables. Cela revient à dire que son image est tout cet espace. Pour une matrice $m\times n$, l’injectivité demande le rang $n$, la surjectivité demande le rang $m$.

Dans notre matrice $A$ à deux lignes et trois colonnes, toute sortie était atteignable, mais plusieurs entrées donnaient la même sortie. Elle était donc surjective sans être injective. Les deux notions seront équivalentes pour les matrices carrées, où les dimensions de départ et d’arrivée sont égales.

13. Le déterminant : savoir si une figure s’aplatit

13.1 Deux colonnes construisent un parallélogramme#

Deux vecteurs du plan, placés comme colonnes d’une matrice, dessinent deux côtés d’un parallélogramme. Si l’un est un multiple de l’autre, les deux côtés suivent la même droite : la figure s’aplatit et son aire est nulle.

Pour la matrice $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, le nombre $ad-bc$ s’appelle son déterminant. Sa valeur absolue est l’aire du parallélogramme. La valeur absolue garde le nombre s’il est positif et change son signe s’il est négatif. Par exemple, $|-3|=3$.

Le déterminant garde aussi un signe, qui renseigne sur l’ordre des deux directions. Échanger les deux colonnes renverse ce signe, sans changer l’aire. Par exemple, les colonnes $(2,1)$ et $(1,2)$ donnent le déterminant $2\times2-1\times1=3$, donc une aire de 3.

13.2 Pourquoi cela aide à résoudre les systèmes#

Si les deux colonnes suivent la même droite, elles ne peuvent pas construire tout le plan : le rang est inférieur à 2. Si le parallélogramme a une aire non nulle, les colonnes sont indépendantes et forment une base du plan. Le déterminant sépare ces deux situations.

Pour une matrice carrée de taille $n\times n$, le déterminant généralise cette idée : zéro signifie que les colonnes sont liées ; un nombre non nul signifie qu’elles forment une base. En dimension 3, sa valeur absolue est un volume. Dans toutes les dimensions, c’est aussi le facteur par lequel la transformation multiplie les volumes.

Le déterminant est défini pour les matrices carrées, qui ont autant de lignes que de colonnes. Le rang, lui, existe aussi pour les matrices rectangulaires.

13.3 Calculer un déterminant en faisant des zéros#

Pour une matrice triangulaire, dont toutes les entrées sous la diagonale sont nulles, le déterminant est le produit des entrées diagonales. Par exemple, celui de $\begin{pmatrix}2&1&4\\0&3&5\\0&0&-1\end{pmatrix}$ vaut $2\times3\times(-1)=-6$.

Gauss permet d’atteindre ce type de matrice. Il faut seulement savoir comment ses opérations affectent le déterminant. Ajouter un multiple d’une ligne à une autre ne le change pas. Échanger deux lignes change son signe. Multiplier une ligne par un nombre multiplie le déterminant par ce nombre.